一阶微分方程
一阶微分方程，涉及仅含有一阶导数的方程，其一般形式可表达为 F(x, y, y') = 0 或显式 y' = f(x, y)。这类方程根据结构和解的特点，主要分为几大类别。
接下来是一阶线性微分方程。其形式为 y' + P(x)y = Q(x)。对于这种方程，我们可以采用多种解法。首先是求齐次方程的通解，通过分离变量得到 y = Ce⁻∫P(x)dx。然后，使用常数变易法，将常数C替换为函数C(x)，并代入原方程求解。通解公式可以表示为 y = e⁻∫P(x)dx ( ∫Q(x)e∫P(x)dx dx + C)。
还有伯努利方程，其形式为 y' + P(x)y = Q(x)y^α，其中 α ≠ 0,1。这种方程可以通过变量代换 z = y^(1-α) 转化为线性方程求解。
除此之外，还有恰当方程与非恰当方程。恰当方程形如 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0，且满足 ∂M/∂y = ∂N/∂x。对于这类方程，我们可以直接通过不定积分或分组凑微分求解。非恰当方程则需要寻找积分因子 μ(x,y)，使其转化为恰当方程。
还有齐次型方程，其形式为 dy/dx = f(y/x)。这类方程可以通过代换 u = y/x 转化为可分离变量的方程。
在解决这些方程时，需要注意一些关键步骤和事项。积分涉及对数函数时，要注意保留绝对值符号，以避免遗漏解。要区分通解和特解，通解包含任意常数，常数的个数与方程的阶数一致；特解则需要通过初始条件确定常数。部分方程的解可能无法显式表达为 y = f(x)，需要保留隐式形式。
例如，对于题目中的 y' + 2xy = x，我们可以识别其为线性方程。通过积分因子 μ(x) = e^(x^2)，我们可以得到其通解为 y = e^(-x^2) ( ∫x e^(x^2) dx + C) = Ce^(-x^2) + 1/2。这是一个典型的线性方程的求解过程。