函数求导公式

未解之谜 2025-04-09 13:55www.bnfh.cn世界未解之谜

基本初等函数导数公式及求导法则详解

一、基本初等函数导数公式

常数函数：导数恒为 0。

幂函数：一般形式 \(x^n\) 的导数为 \(nx^{n-1}\)（其中 \(n \in \mathbb{R}\)）。

指数函数：对于 \(a^x\)（其中 \(a > 0\)），其导数为 \(a^x \ln a\)；特别地，\(e^x\) 的导数为 \(e^x\)。

对数函数：自然对数 \(\ln x\) 的导数为 \(\frac{1}{x}\)；以 a 为底的对数 \(\log_a x\)（其中 \(a > 0, a eq 1\)）的导数为 \(\frac{1}{x \ln a}\)。

三角函数：\(\sin x\) 的导数为 \(\cos x\)；\(\cos x\) 的导数为 \(-\sin x\)；其余三角函数亦有其对应的导数公式。

反三角函数：包括 \(\arcsin x\)，\(\arccos x\)，\(\arctan x\) 等，各自有其特定的导数公式。

二、求导法则

加减法则：对于加减运算的函数，求导时分别求各部分导数后再进行加减。

乘积法则：对于乘积形式的函数，求导时需分别求各部分导数，并进行乘法运算。

商法则：对于除法形式的函数，求导时需考虑分子分母的导数，并进行适当的运算。

链式法则（复合函数求导）：对于复合函数，需先求内层函数的导数，再求外层函数的导数，两者相乘即得结果。

三、示例

幂函数与指数函数结合：如函数 \(f(x) = x^3 e^x\)，其导数为 \(f'(x) = 3x^2 e^x + x^3 e^x\)。

对数函数与三角函数结合：如函数 \(f(x) = \ln(\sin x)\)，其导数为 \(f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\)。

通过以上列出的公式和法则，我们可以求解大部分初等函数的导数问题。这些公式和法则为我们提供了求解导数的基本工具和思路，是数学学习中不可或缺的一部分。