线性相关与无关的判断方法

奇闻趣事 2023-04-28 13:48www.bnfh.cn奇闻趣事

1、定义法

使向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的值。当线性组合为零，仅当系数为零时，向量组是线性的；如果有不完全为零的系数，使线性组合为零，则向量组是线性的。

2、向量组的相关性质

（1）当向量组中的向量数等于向量维数时，向量组的行列式不为零的充分必要条件是向量组线性无关；

(2)当向量组含有的向量超过向量维数时，向量组具有线性相关性；

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；

（4）通过向量组的齐次线性方程组解来判断向量组的线性相关性；线性方程组与非零解向量组有线性相关性，否则线性无关。

（5）通过向量组的秩序研究向量组的相关性。如果向量组的秩等于向量数，则向量组是线性的；如果向量组的秩小于向量数，则向量组是线性的。

线性重要性

1、向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)秩序等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。

2.如果向量组B可以由向量组A线性表示，则向量组B的秩序不大于向量组A的秩序。反之亦然。

3、零向量可由任何一组向量线性表示。

4、向量组α1，α2，……，αm每个向量都可以由向量组本身线性表示。

5、设α1，α2，……，αm线性无关，而且α1，α2，……，αm，?线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，表示是唯一的。